文部科学大臣表彰をいただきました https://www.wacoca.com/videos/1721667/announcer/
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【ラグランジアン$L$とハミルトニアン$H$】
$q$と$p$をそれぞれ一般化座標と一般化運動量とする。ラグランジアン$L$とハミルトニアン$H$の関係性は以下のように表わされる。
\begin{equation}
H=p\dot{q}-L
\end{equation}
ハミルトニアン$H$の全微分は以下のように書ける。
\begin{equation}
dH=\dot{q}dp+pd\dot{q}-dL=\dot{q}dp+pd\dot{q}-\left( \dot{p}dq+pd\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt \right)=\dot{q}dp-\dot{p}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt
\end{equation}
以上より、正準方程式が得られる。
\begin{equation}
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},~\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}
\end{equation}
#物理 #力学 #解析力学
【ラグランジュの運動方程式とラグランジアン$L(q,\dot{q},t)$の全微分】
$q$と$p$をそれぞれ一般化座標と一般化運動量とするとラグランジュの運動方程式は以下のように書ける。
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0
\end{equation}
一般化座標を$p=\partial L/\partial\dot{q}$とすると、ラグランジアン$L$の全微分は以下のように計算できる。
\begin{equation}
dL=\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt=\dot{p}dq+pd\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt
\end{equation}
#物理 #力学 #解析力学
RT @3193LABO: 【単極モーター王選手権】
回れば優勝の選手権。
動画は「メルヘン部門優勝作品」
蝶を飛ばすというトリッキーさと手先の器用さが凝縮された作品。
@Yoichi_Yamazaki 山崎先生の選手権に感銘を受け、実践いたしました。ありがとうございました。 https://t.co/YZJwJHgZVN
【調和振動子と不確定性関係2/2】
位置と運動量の量子的なゆらぎは
\begin{equation}
\Delta\hat{x}=\sqrt{\langle\hat{x}^2\rangle-\langle\hat{x}\rangle^2},~\Delta\hat{x}=\sqrt{\langle\hat{p}^2\rangle-\langle\hat{p}\rangle^2}
\end{equation}
と書ける。$\langle n|\hat{x}|n\rangle=\langle n|\hat{p}|n\rangle=0$より
\begin{equation}
\left( \Delta x_{n} \right)^2\left( \Delta p_{n} \right)^2=\frac{\hbar^2}{4}(2n+1)
\end{equation}
となり、$n=0$のときに$\Delta x\Delta p$は$\hbar/2$のゆらぎを持つことが見積もれる。これは不確定性関係に対応する。#量子力学 #物理
【調和振動子と不確定性関係1/2】
固有状態($n$番目の励起状態$|n\rangle$)とその固有値($E_{n}$)は
\begin{equation}
|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}!}\left( \hat{a}^{\dagger} \right)^n |0\rangle,~E_{n}=\left( n+\frac{1}{2} \right)\hbar\omega
\end{equation}
と書ける。$n=0$のときは基底状態であり、その固有値$E_{0}=\hbar\omega/2$は零点振動を表す。
調和振動子の位置と運動量の演算子は
\begin{equation}
\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left( \hat{a}^{\dagger}+\hat{a} \right),~i\frac{\hbar m\omega}{2}\left( \hat{a}^{\dagger}-\hat{a} \right)
\end{equation}
と表される。#量子力学 #物理
今日(12月11日)はマックス・ボルン博士(1882~1970)の生まれた日。ドイツの理論物理学者。量子力学における波動関数の確率解釈によって1954年ノーベル物理学賞を受賞。ボルン博士は電子が$\vec{k}_{0}$方向から$\vec{k}$まわりの$d\Omega_{\vec{k}}$へ散乱される確率を
\begin{equation}
|\psi(\vec{k},\vec{k}_{0})|^{2}d\Omega_{\vec{k}}
\end{equation}
とした。このボルン博士の「確率解釈」を座標空間に応用したのはパウリ博士だそうだ。パウリ博士は$n$状態の電子が$\vec{r}$の近傍$d\vec{r}$に見出される確率を$|\psi_{n}(\vec{r})|^{2}d\vec{r}$とした。すると、
\begin{equation}
\int^{\infty}_{0}|\psi_{n}(\vec{r})|^{2}d\vec{r}=1
\end{equation}
という関係も成り立つ。
(参考:江沢洋・恒藤敏彦『量子物理学の展望』岩波書店)#量子力学 #物理 #電子
今日(8月8日)はポール・ディラック博士(1902~1984)が生まれた日。1933年に量子力学の研究によりノーベル物理学賞を受賞。相対論的量子力学の構築、特に「ディラック方程式」の導出が有名。
\begin{equation}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=\left( c\vec{\alpha}\cdot\vec{p}+\beta mc^2 \right)\psi
\end{equation}
その研究の中で、反粒子の存在も予言。反粒子の研究は、人類が持つ「真空」の概念を一段階深めた。
#量子力学 #原子 #物理 #科学