定理　(Legendre)． 　任意の，constant でない多項式 P(x) に対し，P(n) が素数でないような n∈ℕ が無限個存在する．

証明． すべての n∈ℕ に対し，P(n) が素数でないなら，主張は明らかに成り立つから， ある 𝑛*∈ℕ に対し，素数 p で，P(𝑛*)=p となるものが存在するとしてよい．
　 P は constant でないので，\(\lim_{n→∞}|P(n)|\)=∞ である． したがって十分に大きな，すべての n∈ℕ に対して，|P(𝑛*+np)|>p である． もし P(n*+np)<1 なら， P(n*+np) はいずれにしても素数ではないから，P(n*+np)>p としてよい． このとき，P(n*+np)≡P(n*)≡0 mod p だから．P(n*+np) は p の倍数となり，素数でない．□　#多項式 #素数

これは #素数 なんだね。