【ラグランジアン$L$とハミルトニアン$H$】
$q$と$p$をそれぞれ一般化座標と一般化運動量とする。ラグランジアン$L$とハミルトニアン$H$の関係性は以下のように表わされる。
\begin{equation}
H=p\dot{q}-L
\end{equation}
ハミルトニアン$H$の全微分は以下のように書ける。
\begin{equation}
dH=\dot{q}dp+pd\dot{q}-dL=\dot{q}dp+pd\dot{q}-\left( \dot{p}dq+pd\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt \right)=\dot{q}dp-\dot{p}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt
\end{equation}
以上より、正準方程式が得られる。
\begin{equation}
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},~\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}
\end{equation}
#物理 #力学 #解析力学

【ラグランジュの運動方程式とラグランジアン$L(q,\dot{q},t)$の全微分】
$q$と$p$をそれぞれ一般化座標と一般化運動量とするとラグランジュの運動方程式は以下のように書ける。
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0
\end{equation}
一般化座標を$p=\partial L/\partial\dot{q}$とすると、ラグランジアン$L$の全微分は以下のように計算できる。
\begin{equation}
dL=\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt=\dot{p}dq+pd\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt
\end{equation}
#物理 #力学 #解析力学